Álgebra

Una proposición es un enunciado del que tiene sentido decir si es verdadero o falso, y solo una de las dos cosas. «17 es primo» lo es. «¿Qué hora es?», «cierra la puerta» y «qué bonito día» no: preguntar, ordenar y opinar no afirma nada que se pueda comprobar. Toda la lógica trabaja únicamente sobre enunciados que tienen valor de verdad, así que distinguirlos es lo primero.

El valor de verdad es el dato que la lógica calcula: V si la proposición se cumple y F si no. En una proposición simple se decide mirando el hecho o haciendo la cuenta. En una compuesta ya no se opina: se calcula a partir de los valores de sus partes y del conectivo que las une. Por eso la lógica proposicional funciona como un álgebra —entran valores, la regla del conectivo los combina y sale un valor.

Negar una proposición es afirmar que no se cumple. Es el único conectivo que trabaja con una sola proposición, y su efecto siempre es el mismo: invierte el valor de verdad. Ojo con el español: lo contrario de «todos aprobaron» no es «nadie aprobó», sino «al menos uno no aprobó». Confundir negar con afirmar lo opuesto es el error más común de todo el bloque.

La conjunción une dos proposiciones con «y» y es exigente: basta con que una falle para que todo el enunciado sea falso. Sirve para expresar condiciones que deben darse juntas, como los requisitos de una beca. En español también la forman «pero», «aunque» y «sin embargo»: cambian el matiz pero no el cálculo, porque las dos partes tienen que cumplirse igual.

La disyunción une dos proposiciones con «o» y es generosa: alcanza con que una sea verdadera. En matemáticas el «o» es inclusivo, así que también es verdadera cuando las dos lo son —cosa que el español de todos los días no siempre respeta—. Cuando el enunciado exige elegir una y solo una, se trata de la disyunción exclusiva, que se marca aparte con ⊻.

El condicional expresa una promesa: si se cumple el antecedente, tiene que cumplirse el consecuente. Es el conectivo que más cuesta, porque resulta verdadero en todos los casos menos uno —solo es falso cuando el antecedente es V y el consecuente F—. La clave es leerlo como un compromiso que únicamente se rompe cuando la condición se dio y lo prometido no llegó; si la condición nunca se dio, nadie faltó a su palabra.

El bicondicional exige que las dos proposiciones tengan el mismo valor de verdad: verdadero si ambas son V o ambas son F, y falso si difieren. Equivale a afirmar el condicional en los dos sentidos a la vez. Es el conectivo de las definiciones matemáticas: cuando un libro dice «un número es par si y solo si es divisible entre 2», está diciendo que las dos cosas se implican mutuamente y ninguna puede darse sin la otra.

Una tabla de verdad enumera todas las combinaciones de valores que pueden tomar las proposiciones simples y calcula qué le pasa a la compuesta en cada una. Con n proposiciones distintas salen 2 elevado a n renglones: dos proposiciones dan 4, tres dan 8. Es la herramienta que convierte una discusión en un cálculo, y la que permite comprobar si dos enunciados que se ven distintos en realidad dicen lo mismo.

Dos proposiciones son equivalentes cuando su tabla de verdad coincide renglón por renglón: dicen lo mismo aunque se vean diferentes. Sirven para simplificar y para negar bien. Las más útiles son las leyes de De Morgan, que explican cómo entra una negación en un paréntesis: negar una conjunción da una disyunción de las negaciones, y al revés. Es exactamente el error que se comete al decir que lo contrario de «llueve y hace frío» es «no llueve y no hace frío».

Un cuantificador dice de cuántos elementos habla una proposición abierta. El universal, ∀, afirma que la propiedad se cumple en todos los casos; el existencial, ∃, afirma que se cumple al menos en uno. Lo que más se usa es cómo se niegan: negar «todos cumplen» no da «ninguno cumple», sino «existe al menos uno que no cumple». Por eso, para tumbar una afirmación universal basta con encontrar un solo contraejemplo.