Matemáticas
Entiende los números, sus relaciones y las operaciones que forman la base de Álgebra, Geometría, Física y muchas situaciones cotidianas.
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Los números naturales son los que usamos para contar objetos: 0, 1, 2, 3… Cada cifra cambia de valor según el lugar que ocupa. De derecha a izquierda encontramos unidades, decenas, centenas y unidades de millar.
Regla clave
Al comparar dos números, el que tiene más cifras es mayor. Si tienen las mismas, compara de izquierda a derecha.
En 47,205, el 4 vale 40,000; el 7 vale 7,000; el 2 vale 200 y el 5 vale 5.
Cómo hacerlo
Los números enteros incluyen los positivos, el cero y los negativos. Pueden representar, por ejemplo, dinero a favor o una deuda. En la recta numérica, el número que está más a la derecha es el mayor. El valor absoluto es la distancia al cero y siempre se expresa sin signo.
Regla clave
Para sumar signos iguales, suma los valores absolutos y conserva el signo. Con signos distintos, resta y conserva el signo del número con mayor valor absoluto.
−8 + 3 = −5 porque se restan 8 − 3 y domina el signo de −8. Además, |−8| = 8.
Cómo hacerlo
Un divisor cabe exactamente en otro número, sin dejar residuo. Un múltiplo se obtiene al multiplicar un número por 1, 2, 3… Un número primo, como 2, 3, 5 o 7, solo se divide exactamente entre 1 y entre sí mismo.
Regla clave
Es divisible entre 2 si termina en cifra par; entre 3 si sus cifras suman múltiplo de 3; entre 5 si termina en 0 o 5; y entre 10 si termina en 0.
84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 7.
Cómo hacerlo
El máximo común divisor (MCD) es el número más grande que divide exactamente a dos o más cantidades; sirve para repartir sin que sobre nada. El mínimo común múltiplo (mcm) es el primer múltiplo que comparten; sirve para descubrir cuándo coinciden dos ciclos.
Regla clave
Con factores primos, el MCD toma los factores comunes con el menor exponente; el mcm toma todos los factores con el mayor exponente.
12 = 2² × 3 y 18 = 2 × 3². Entonces MCD(12,18) = 2 × 3 = 6 y mcm(12,18) = 2² × 3² = 36.
Cómo hacerlo
Una fracción representa una o varias partes iguales de un entero. Se escribe con dos números separados por una barra. El número de arriba es el numerador y dice cuántas partes tomamos; el de abajo es el denominador y dice en cuántas partes iguales se dividió el entero.
Numerador: va arriba y cuenta las partes tomadas. Denominador: va abajo e indica el total de partes iguales.
3/4 significa que el entero se dividió en 4 partes iguales y se tomaron 3.
Regla clave
Para sumar o restar, las fracciones deben tener el mismo denominador. Para multiplicar, multiplica arriba por arriba y abajo por abajo. Para dividir, invierte la segunda fracción y luego multiplica.
2/3 + 1/4 = 8/12 + 3/12 = 11/12.
Cómo hacerlo
Un decimal representa una cantidad completa y una parte de ella. A la izquierda del punto están los enteros; a la derecha aparecen décimos, centésimos y milésimos. Por ejemplo, 0.5 significa cinco décimos y equivale a 5/10 o 1/2.
Regla clave
En suma y resta alinea los puntos. En multiplicación coloca al final tantas cifras decimales como había entre los factores. En división mueve el punto en ambos números hasta que el divisor sea entero.
3.75 + 0.8 = 3.75 + 0.80 = 4.55.
Cómo hacerlo
Ahora que conoces enteros, fracciones y decimales, puedes clasificarlos. Los racionales se pueden escribir como una fracción de dos enteros; los irracionales no. Ambos son números reales y pueden ubicarse en la recta numérica.
Revisa qué números pertenecen a cada familia y cómo los puedes reconocer o escribir.
Regla clave
Observa su decimal: si termina o repite un patrón es racional; si continúa para siempre sin repetir un patrón es irracional.
0.75 es racional porque 0.75 = 3/4. En cambio, √2 = 1.414213… es irracional porque sus decimales no terminan ni forman un patrón repetitivo.
Cómo hacerlo
Cuando una expresión tiene varias operaciones, no se resuelve simplemente de izquierda a derecha. La jerarquía indica cuál hacer primero para que todas las personas obtengan el mismo resultado.
Regla clave
Sigue este orden: 1) signos de agrupación de adentro hacia afuera —paréntesis (), corchetes [] y llaves {}—; 2) potencias y raíces; 3) multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha; 4) sumas y restas de izquierda a derecha.
30 − {2 × [5 + (3 − 1)]} = 30 − {2 × [5 + 2]} = 30 − {2 × 7} = 30 − 14 = 16.
Cómo hacerlo
Una razón compara dos cantidades mediante una división. Por ejemplo, 2 niñas por cada 3 niños se escribe 2:3 o 2/3. Una proporción dice que dos razones representan la misma comparación, como 2/3 = 4/6.
Regla clave
Si a/b = c/d, entonces a × d = b × c. Este producto cruzado permite despejar el dato faltante.
Si 3 cuadernos cuestan $54, cada uno cuesta 54 ÷ 3 = $18; 5 cuadernos cuestan 5 × 18 = $90.
Cómo hacerlo
Un porcentaje indica cuántas partes se toman de cada 100. Por ejemplo, 25% significa 25 de 100 y equivale a 25/100 = 0.25. Se usa para descuentos, aumentos, calificaciones y comparaciones.
Regla clave
Parte = total × porcentaje decimal. Para saber qué porcentaje representa una parte: parte ÷ total × 100.
El 15% de $800 es 800 × 0.15 = $120. Con ese descuento se pagan $680.
Cómo hacerlo
Una potencia es una forma corta de escribir una multiplicación repetida. En 2³, el 2 es la base y el 3 es el exponente: 2³ = 2 × 2 × 2. Una raíz hace la pregunta inversa: √25 busca el número que al multiplicarse por sí mismo da 25.
Identifica primero la operación y después elige la ley correspondiente.
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
Ejemplo: 2³ × 2⁴ = 2⁷
aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
Ejemplo: 5⁶ ÷ 5² = 5⁴
(aᵐ)ⁿ = a^(m × n)
Ejemplo: (3²)⁴ = 3⁸
(ab)ⁿ = aⁿbⁿ
Ejemplo: (2 × 3)² = 2² × 3²
(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
Ejemplo: (2/3)² = 2²/3² = 4/9
a⁰ = 1, si a ≠ 0
Ejemplo: 7⁰ = 1
a⁻ⁿ = 1/aⁿ, si a ≠ 0
Ejemplo: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8
Regla clave
Antes de aplicar una ley, comprueba si las bases son iguales y si se trata de una multiplicación, división o potencia de otra potencia. Los exponentes no siempre se suman.
2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128 y √144 = 12 porque 12² = 144.
Cómo hacerlo
La notación científica permite escribir números con muchos ceros de forma corta. Tiene la forma a × 10ⁿ: el primer número debe ser mayor o igual que 1 y menor que 10; el exponente indica cuántos lugares se movió el punto decimal.
Regla clave
Mover el punto a la izquierda produce exponente positivo; moverlo a la derecha produce exponente negativo.
4,500,000 = 4.5 × 10⁶ y 0.00032 = 3.2 × 10⁻⁴.
Cómo hacerlo
Contar es más viejo que escribir. Primero fueron marcas en un hueso, una por cada oveja; después los egipcios y los romanos inventaron símbolos para agrupar cantidades, y los mayas construyeron un sistema con valor posicional y con cero mucho antes que Europa. El sistema que usamos hoy nació en la India, llegó a Occidente por los matemáticos árabes y se impuso por una razón práctica: con diez símbolos y la posición se escribe cualquier cantidad, y sobre todo se puede calcular por escrito. Con numerales romanos, multiplicar es casi imposible.
Regla clave
Lo que hizo ganar al sistema indoarábigo: 1. Diez símbolos, del 0 al 9, y nada más. 2. El valor de una cifra depende de su POSICIÓN. 3. Un símbolo para la nada: el cero. Sin el cero no hay posición, y sin posición no hay cálculo escrito.
El mismo número, en tres sistemas: romano MMXXV maya una barra y cinco puntos por nivel indoarábigo 2025 Multiplica MMXXV × XII sin traducirlo. Esa dificultad es la razón del cambio.
Cómo hacerlo
Un sistema posicional necesita dos cosas: una base, que dice cuántos símbolos hay, y la regla de que cada posición vale la base elevada a su lugar. En base 10 usamos diez símbolos y las posiciones valen 1, 10, 100. En base 2 solo hay dos símbolos y las posiciones valen 1, 2, 4, 8: es como cuenta una computadora, porque un circuito solo distingue entre encendido y apagado. La base 16 se usa para escribir colores y direcciones de memoria, y necesita seis símbolos extra, que son las letras de la A a la F.
Regla clave
Valor = Σ (cifra × base^posición) Las posiciones se numeran desde 0, de derecha a izquierda. De otra base a base 10 multiplica cada cifra por la potencia de su posición y suma. De base 10 a otra base divide entre la base repetidamente y lee los residuos de abajo hacia arriba.
1101 en base 2 → base 10 1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ = 8 + 4 + 0 + 1 = 13 Y de regreso: 13 ÷ 2 = 6 residuo 1 6 ÷ 2 = 3 residuo 0 3 ÷ 2 = 1 residuo 1 1 ÷ 2 = 0 residuo 1 Leídos de abajo hacia arriba: 1101
Cómo hacerlo
El Sistema Internacional fija siete unidades base —entre ellas el metro, el kilogramo y el segundo— y de ellas se derivan todas las demás. Su ventaja frente a pies y libras es que todo se relaciona por potencias de diez, así que convertir es correr el punto decimal. Los prefijos hacen ese trabajo: kilo multiplica por mil, mili divide entre mil. Y hay reglas de escritura que no son capricho: los símbolos no llevan punto ni plural, y va un espacio entre el número y la unidad, porque «5 kg» es una medida y «5kg» es un error de notación.
Regla clave
Prefijos más usados: giga G ×10⁹ centi c ×10⁻² mega M ×10⁶ mili m ×10⁻³ kilo k ×10³ micro μ ×10⁻⁶ hecto h ×10² nano n ×10⁻⁹ Escritura correcta · 5 kg, con espacio y sin punto final · nunca «5 kgs»: el símbolo no lleva plural · kg con k minúscula y g minúscula
2.5 km → m kilo = ×10³ 2.5 × 10³ = 2500 m 450 mg → g mili = ×10⁻³ 450 × 10⁻³ = 0.45 g
Cómo hacerlo
Resuelve paso a paso
Escribe los datos de tu ejercicio, obtén el resultado y revisa el procedimiento. Estas herramientas cubren los temas actuales de Aritmética.