Matemáticas
Funciones y Precálculo
Relaciona fórmulas, tablas y gráficas para modelar cambios.
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Relaciones y funciones3.º de secundaria a 1.º de preparatoriaDistingue entradas, salidas, dominio y rango.
Una función asigna a cada entrada exactamente una salida. El dominio reúne las entradas permitidas y el rango contiene las salidas que realmente produce.
Regla clave
Es función si ningún valor de x tiene dos salidas distintas. f(a) significa sustituir x por a.
Ejemplo razonado
f(x)=2x+1: f(3)=2(3)+1=7.
Cómo hacerlo
- 1Identifica variable independiente y dependiente.
- 2Determina entradas permitidas.
- 3Sustituye y relaciona tabla, fórmula y gráfica.
Funciones lineales y cuadráticas3.º de secundaria a 1.º de preparatoriaInterpreta pendiente, intersecciones, vértice y raíces.
Una función lineal cambia a ritmo constante. Una cuadrática forma una parábola; su vértice marca un máximo o mínimo y sus raíces son los cruces con el eje x.
Regla clave
Lineal: y=mx+b. Cuadrática: f(x)=ax²+bx+c; vértice xv=−b/(2a).
Ejemplo razonado
f(x)=x²−4x+3 tiene vértice en x=2 y raíces 1 y 3.
Cómo hacerlo
- 1Reconoce el grado.
- 2Calcula puntos importantes.
- 3Interpreta la gráfica dentro del contexto.
Transformaciones y operaciones1.º de preparatoria a 2.º de preparatoriaDesplaza, refleja, estira, compone e invierte funciones.
Cambiar una fórmula transforma su gráfica. f(x)+k desplaza verticalmente, f(x−h) horizontalmente y −f(x) refleja respecto del eje x. Componer significa usar la salida de una función como entrada de otra.
Regla clave
COMPOSICIÓN (f ∘ g)(x) = f(g(x)) Primero se calcula g(x) y su resultado se introduce en f. FUNCIÓN INVERSA f⁻¹(f(x)) = x La función inversa deshace la operación de la función original.
Desliza el bloque para ver los renglones completos.
Ejemplo razonado
f(x) = 2x + 1 g(x) = x² (f ∘ g)(x) = f(g(x)) (f ∘ g)(x) = f(x²) (f ∘ g)(x) = 2x² + 1
Desliza el bloque para ver los renglones completos.
Cómo hacerlo
- 1Identifica la función base.
- 2Aplica una transformación a la vez.
- 3Comprueba puntos e intersecciones.
Polinomiales, racionales y radicales2.º de preparatoriaAnaliza ceros, restricciones y comportamiento de diferentes familias.
Las polinomiales están definidas para todo real. Las racionales excluyen ceros del denominador y pueden tener asíntotas. Las radicales de índice par requieren radicando no negativo.
Regla clave
Dominio: evita división entre cero y raíces pares de números negativos.
Ejemplo razonado
f(x)=1/(x−2) excluye x=2; g(x)=√(x−3) requiere x≥3.
Cómo hacerlo
- 1Identifica la familia.
- 2Encuentra restricciones del dominio.
- 3Analiza ceros, intersecciones y comportamiento.
Exponenciales y logaritmos2.º de preparatoria a 3.º de preparatoriaModela crecimiento, decaimiento y despeja exponentes.
Una función exponencial multiplica por un mismo factor en periodos iguales. El logaritmo responde qué exponente necesita una base para producir cierto número.
Regla clave
y=a·bˣ. log_b(y)=x equivale a bˣ=y; b>0 y b≠1.
Ejemplo razonado
2³=8, por lo tanto log₂(8)=3.
Cómo hacerlo
- 1Identifica valor inicial y factor.
- 2Distingue crecimiento de decaimiento.
- 3Usa logaritmos cuando la incógnita está en el exponente.
Funciones trigonométricas2.º de preparatoria a 3.º de preparatoriaRelaciona círculo unitario, radianes, periodicidad y gráficas.
Seno y coseno describen movimientos periódicos; la tangente compara seno con coseno. En el círculo unitario, cos θ es la coordenada x y sen θ la coordenada y.
Regla clave
180°=π rad. sen²θ+cos²θ=1 y tan θ=sen θ/cos θ.
Ejemplo razonado
60°=π/3 rad y sen(30°)=1/2.
Cómo hacerlo
- 1Convierte la unidad angular si hace falta.
- 2Ubica el ángulo y sus signos.
- 3Interpreta amplitud, periodo y desplazamiento.
Funciones por partes2.º de preparatoriaUna función con reglas distintas según el tramo del dominio.
Una función definida por partes usa una regla diferente en cada tramo de su dominio. No es un truco de examen: así funcionan las tarifas reales, como el recibo de la luz, que cobra un precio por los primeros kilowatts y otro por los siguientes. Para evaluarla, lo primero es decidir a qué tramo pertenece el valor, y solo entonces aplicar la regla de ese tramo. Su gráfica puede tener un salto justo en la frontera, y ahí es donde conviene revisar si la función es continua o no.
Regla clave
f(x) = ⎧ regla 1, si x está en el tramo 1 ⎨ regla 2, si x está en el tramo 2 ⎩ regla 3, si x está en el tramo 3 Los tramos NO deben encimarse y juntos cubren todo el dominio. En la frontera hay continuidad solo si las dos reglas dan el mismo valor ahí.
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Ejemplo razonado
f(x) = ⎧ x + 1, si x < 2 ⎩ x², si x ≥ 2 f(0) = 0 + 1 = 1 (usa la primera) f(5) = 25 (usa la segunda) f(2) = 4 (x ≥ 2, va la segunda) En x = 2 la primera tiende a 3 y la segunda vale 4: hay un salto, no es continua.
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Cómo hacerlo
- 1Localiza en qué tramo cae el valor de x antes de calcular nada.
- 2Fíjate si la desigualdad del tramo incluye o excluye la frontera.
- 3Aplica únicamente la regla de ese tramo; las otras no se usan.
- 4Para saber si es continua en la frontera, evalúa las dos reglas ahí y compáralas.
Resuelve paso a paso
Calculadoras
Introduce los datos y revisa cada parte del procedimiento.