Cálculo

La razón de cambio promedio compara dos puntos. La instantánea describe lo que ocurre en un momento y se obtiene haciendo cada vez más pequeño el intervalo.

Cómo hacerlo

1. 1Identifica entrada y salida.
2. 2Calcula diferencias en el mismo orden.
3. 3Interpreta las unidades como salida por entrada.

El límite observa valores cercanos a un punto, aunque la función no esté definida exactamente allí. Sustituir directamente funciona cuando la función es continua; las indeterminaciones requieren transformar la expresión.

Cómo hacerlo

1. 1Intenta sustituir.
2. 2Si aparece 0/0, factoriza o racionaliza.
3. 3Comprueba acercándote por izquierda y derecha.

Una función es continua en a si f(a) existe, el límite existe y ambos son iguales. La continuidad permite modelar cambios sin interrupciones.

Cómo hacerlo

1. 1Evalúa la función.
2. 2Calcula límites laterales.
3. 3Compara el límite con el valor de la función.

La derivada mide cómo cambia una función. Las reglas de suma, producto, cociente y cadena permiten derivar expresiones complejas sin volver siempre a la definición.

Cómo hacerlo

1. 1Separa términos o identifica la estructura.
2. 2Aplica la regla apropiada.
3. 3Simplifica y evalúa solo si se pide un punto.

Derivar e integrar son operaciones lineales: respetan la suma, la resta y los factores constantes. Por eso una expresión con varios términos se resuelve término por término, y una constante que multiplica puede salir de la operación y volver al final. Lo que no existe es una regla del tipo «derivada del producto = producto de las derivadas»: los productos y los cocientes tienen reglas propias.

Cómo hacerlo

1. 1Separa la expresión en sus términos, respetando los signos de suma y resta.
2. 2Saca los factores constantes: un número que multiplica no participa en la derivada ni en la integral.
3. 3Resuelve cada término con la regla que le toque y vuelve a unirlos en el mismo orden.
4. 4Si aparece un producto o un cociente de dos funciones, no repartas: usa la regla del producto o la del cociente.

Una función tiene inversa solo si es inyectiva: ningún valor de salida se repite, lo que se comprueba con la prueba de la recta horizontal. La inversa deshace lo que hizo la original, por eso al componerlas se regresa a x. Además intercambia el dominio con el rango, y su gráfica es el reflejo de la original respecto de la recta y = x.

Cómo hacerlo

1. 1Comprueba que la función sea inyectiva; si no lo es, restringe el dominio hasta que lo sea.
2. 2Escribe y = f(x) e intercambia los papeles de x y de y.
3. 3Despeja y: lo que queda es la fórmula de la función inversa.
4. 4Verifica componiendo: f⁻¹(f(x)) tiene que regresarte exactamente x.

Las funciones trigonométricas se derivan con una tabla fija que conviene memorizar. Todas se demuestran a partir del límite de sen(h)/h cuando h tiende a cero, y todas suponen que el ángulo está en radianes: en grados las fórmulas cambian por un factor π/180. Cuando dentro de la función hay algo distinto de una x sola, la regla de la cadena obliga a multiplicar por la derivada de ese interior.

Cómo hacerlo

1. 1Comprueba que el ángulo esté en radianes; si viene en grados, conviértelo antes de derivar.
2. 2Localiza en la tabla la función que vas a derivar y escribe la pareja que le corresponde.
3. 3Si el ángulo no es una x sola, llámalo u y calcula aparte su derivada u'.
4. 4Multiplica el resultado de la tabla por u' y simplifica el producto.

El logaritmo natural es la función cuya derivada es 1/x, y la exponencial eˣ es la única que se deriva a sí misma. Cuando la base no es e aparece un factor ln a, que vale 1 justo en el caso natural. La derivación logarítmica aprovecha estas fórmulas: aplicar ln a los dos lados convierte productos en sumas y exponentes en factores, lo que vuelve manejables expresiones como xˣ.

Cómo hacerlo

1. 1Identifica la base: si es e o ln, la fórmula es la corta; si es otra, aparece el factor ln a.
2. 2Si el argumento no es una x sola, llámalo u y calcula su derivada u'.
3. 3Aplica la fórmula: en un logaritmo se divide entre el argumento, en una exponencial se multiplica por su derivada.
4. 4Cuando la x está en la base y en el exponente a la vez, saca ln de los dos lados y deriva de forma implícita.

Como las gráficas de f y de f⁻¹ son reflejos respecto de y = x, en puntos correspondientes sus pendientes son recíprocas. Eso permite derivar la inversa aunque despejarla sea complicado o imposible: basta evaluar f' en el punto correspondiente y tomar su recíproco. La fórmula falla justo donde f'(a) = 0, porque ahí la inversa tiene tangente vertical y la derivada no existe.

Cómo hacerlo

1. 1Ubica el punto b donde quieres derivar la inversa y encuentra el valor a que cumple f(a) = b.
2. 2Deriva la función original y evalúa f'(a) en ese punto.
3. 3Comprueba que f'(a) no sea cero; si lo es, la derivada de la inversa no existe ahí.
4. 4Escribe el recíproco: (f⁻¹)'(b) = 1/f'(a).

Las funciones trigonométricas inversas responden a la pregunta contraria: qué ángulo produce cierto valor. Sus derivadas se obtienen aplicando la regla de la derivada de la inversa, y el resultado ya no tiene nada de trigonometría: quedan expresiones algebraicas con raíces y sumas de cuadrados. Cada pareja se distingue solo por el signo, y cada fórmula arrastra la restricción de dominio de su función.

Cómo hacerlo

1. 1Identifica cuál de las seis funciones inversas aparece y si le toca el signo positivo o el negativo.
2. 2Revisa la restricción: arcsen y arccos exigen |x| ≤ 1, mientras que arcsec y arccsc exigen |x| ≥ 1.
3. 3Si el argumento no es una x sola, llámalo u, calcula u' y sustituye en la fórmula.
4. 4Desarrolla el cuadrado del argumento y simplifica el resultado.

Los puntos críticos aparecen donde f'(x)=0 o no existe. El signo de la derivada indica crecimiento y decrecimiento; con ello se localizan máximos y mínimos.

Cómo hacerlo

1. 1Define función y dominio real del problema.
2. 2Deriva y encuentra puntos críticos.
3. 3Compara valores y explica la decisión.

La integral definida acumula pequeños cambios y puede representar área, distancia o cantidad total. Una antiderivada invierte el proceso de derivar.

Cómo hacerlo

1. 1Identifica si se busca antiderivada o acumulación.
2. 2Integra término a término.
3. 3En una integral definida evalúa límite superior menos inferior.

La regla de la potencia ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C se rompe cuando n = −1, porque el denominador quedaría en cero. Ese hueco lo llena el logaritmo natural: ∫dx/x = ln|x| + C. Del otro lado, eˣ es tan cómoda al integrar como al derivar, porque se reproduce a sí misma; si el exponente es kx aparece un 1/k, que es lo que hace falta para deshacer la regla de la cadena.

Cómo hacerlo

1. 1Revisa el exponente: si trae un número multiplicando a la x, ese número terminará dividiendo.
2. 2Si ves una fracción cuyo numerador es la derivada del denominador, la respuesta es un logaritmo natural.
3. 3Escribe el valor absoluto dentro del ln: el argumento de un logaritmo no puede ser negativo.
4. 4Comprueba derivando tu resultado; debe regresarte la función que ibas a integrar.
5. 5No olvides la constante C en toda integral indefinida.

Si derivar arcsen produce 1/√(1 − x²), entonces integrar esa misma expresión debe devolver arcsen. Esa lectura al revés de la tabla de derivadas deja tres formas que conviene reconocer de inmediato: una resta bajo raíz conduce a arcoseno, una suma de cuadrados conduce a arcotangente y una raíz de u² − a² conduce a arcosecante. La parte difícil del ejercicio casi siempre es identificar quién hace de a y quién de u.

Cómo hacerlo

1. 1Mira el denominador: una resta bajo raíz apunta a arcoseno y una suma de cuadrados apunta a arcotangente.
2. 2Identifica a² y u²: a es una constante positiva y u es la parte que depende de x.
3. 3Calcula du y ajusta la constante que falte multiplicando y dividiendo, sin cambiar el valor de la integral.
4. 4Sustituye en la fórmula y comprueba derivando el resultado.

Una ecuación diferencial relaciona una función desconocida con sus derivadas; resolverla significa encontrar la función completa, no un número. El orden es el de la derivada más alta que aparece. La solución general incluye constantes arbitrarias y describe toda una familia de curvas; una condición inicial fija esas constantes y da la solución particular. Este formulario reúne los tipos que se estudian en bachillerato junto con su método.

Cómo hacerlo

1. 1Determina el orden: revisa cuál es la derivada más alta que aparece en la ecuación.
2. 2Clasifica la ecuación: intenta primero separar variables y, si no se puede, revisa si es lineal de primer orden.
3. 3Aplica el método de su renglón del formulario e integra sin olvidar las constantes.
4. 4Si el problema da una condición inicial, sustitúyela para encontrar el valor de cada constante.
5. 5Comprueba la respuesta: derívala y vuelve a meterla en la ecuación original.

A veces la relación entre x e y no se puede despejar, o despejarla es un desastre: la circunferencia x² + y² = 25 tendría que partirse en dos funciones con raíz. La derivación implícita evita ese trabajo. Se deriva la ecuación completa respecto de x tratando a y como una función de x, de modo que cada vez que se deriva un término con y aparece un dy/dx por la regla de la cadena. Después se agrupan esos términos y se despeja dy/dx como si fuera una incógnita cualquiera.

Cómo hacerlo

1. 1Deriva término por término los dos lados de la ecuación respecto de x.
2. 2Acuérdate de que y depende de x: al derivar y aparece siempre un dy/dx.
3. 3Agrupa a un lado todos los términos que contengan dy/dx y pasa el resto al otro.
4. 4Factoriza dy/dx y despéjalo; el resultado suele depender de x y de y a la vez.

Si dos magnitudes están ligadas por una ecuación y una de ellas cambia con el tiempo, la otra también. Este tipo de problema pide la velocidad de la segunda a partir de la velocidad de la primera. La técnica es derivar la ecuación que las relaciona respecto del TIEMPO, no respecto de x, y ahí está la clave: cada variable suelta su propia derivada temporal. El error más caro es sustituir los valores numéricos antes de derivar; si se hace, las cantidades que cambian se congelan en constantes y su derivada sale cero.

Cómo hacerlo

1. 1Haz un dibujo y nombra con letras las cantidades que cambian con el tiempo.
2. 2Escribe la ecuación que las relaciona, usando solo variables y no números.
3. 3Deriva los dos lados respecto del tiempo, dejando que cada variable suelte su derivada.
4. 4Sustituye hasta el final los valores del instante que pide el problema y despeja.