Geometría y Trigonometría

Una figura plana tiene dos dimensiones: largo y ancho. El perímetro mide la longitud de su contorno y el área mide la superficie que ocupa. Un polígono regular tiene todos sus lados y ángulos iguales; su apotema va del centro al punto medio de uno de sus lados. Por eso el perímetro se expresa en unidades y el área en unidades cuadradas.

Las rectas paralelas nunca se cruzan y las perpendiculares forman 90°. La bisectriz divide un ángulo en dos partes iguales y la mediatriz cruza un segmento por su punto medio formando 90°. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales; los adyacentes sobre una recta suman 180°.

Cuando varias rectas paralelas cortan dos rectas, los segmentos que forman conservan la misma proporción. Esta idea permite hallar una longitud sin medirla directamente. También explica por qué los lados correspondientes de triángulos semejantes cambian por el mismo factor de escala.

Los triángulos se clasifican por lados y ángulos. Dos figuras congruentes tienen la misma forma y tamaño; dos figuras semejantes conservan ángulos y tienen lados proporcionales. La escala es la razón entre una medida del dibujo y la medida real.

En un triángulo rectángulo, los catetos forman el ángulo de 90° y la hipotenusa es el lado opuesto y más largo. El área del cuadrado sobre la hipotenusa equivale a la suma de las áreas de los cuadrados sobre los catetos.

La circunferencia es el contorno y el círculo incluye la superficie interior. Un ángulo central tiene su vértice en el centro; uno inscrito lo tiene sobre la circunferencia. Una tangente toca la circunferencia en un punto y es perpendicular al radio correspondiente.

Antes de combinar medidas deben usar la misma unidad. Una figura compuesta puede dividirse en rectángulos, triángulos o círculos; las áreas se suman o restan según la región solicitada. En área el factor de conversión se eleva al cuadrado y en volumen al cubo.

Un cuerpo geométrico tiene tres dimensiones. Su volumen indica cuánto espacio ocupa y se expresa en unidades cúbicas. En prismas y cilindros se multiplica el área de la base por la altura. Las cuatro fórmulas se ven sueltas, pero no lo son: si tomas un cilindro y le metes adentro la esfera más grande que quepa y el cono de la misma base y altura, sus volúmenes quedan en la proporción 1 : 2 : 3. El cono es un tercio del cilindro, la esfera son dos tercios, y entre los dos lo llenan exacto. Con esa idea no hay que memorizar cuatro fórmulas, sino una y dos fracciones.

La geometría analítica representa figuras mediante coordenadas y ecuaciones. Un punto se escribe (x, y); con dos puntos puedes calcular la distancia, el punto medio y la pendiente de la recta que los une.

La trigonometría relaciona los ángulos con los lados de un triángulo. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa está frente al ángulo de 90°; los otros lados son el cateto opuesto y el cateto adyacente respecto del ángulo elegido.

Estas leyes se usan en triángulos oblicuángulos, es decir, triángulos que no tienen que ser rectángulos. Cada lado se nombra con la letra minúscula del ángulo que tiene enfrente: el lado a está frente al ángulo A, el lado b frente a B y el lado c frente a C. La ley de senos relaciona cada lado con el seno de su ángulo opuesto. La ley de cosenos relaciona tres lados con uno de los ángulos y es una ampliación del teorema de Pitágoras.

La topología estudia propiedades que no cambian al deformar una figura sin cortarla ni pegarla, como estar conectada o tener agujeros. El área, el perímetro y el volumen sí pueden cambiar al deformarla, por lo que no son propiedades topológicas. Para encontrarlos cuando falta una medida se usa geometría con álgebra: se representa el dato desconocido con una letra y se despeja en la fórmula.

Una teselación cubre el plano con figuras que no dejan huecos ni se encinan. La condición es aritmética y no artística: alrededor de cada vértice los ángulos que se juntan tienen que sumar exactamente 360°. Por eso, de todos los polígonos regulares, solo tres teselan solos: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular. Sus ángulos interiores —60°, 90° y 120°— caben un número entero de veces en 360°.

Una circunferencia es el conjunto de puntos que están a la misma distancia de un punto fijo. Su ecuación no se memoriza: sale de aplicar la fórmula de distancia entre el centro (h, k) y un punto cualquiera (x, y), y exigir que ese resultado valga r. Al elevar los dos lados al cuadrado desaparece la raíz y queda la forma ordinaria. Es la primera cónica y la más fácil de reconocer: los coeficientes de x² y de y² son iguales y del mismo signo.

Una parábola reúne los puntos que están a la misma distancia de un punto llamado foco y de una recta llamada directriz. Esa definición explica su forma y su uso: cualquier rayo que llega paralelo al eje rebota hacia el foco, que es por lo que las antenas satelitales y los faros de un coche son parabólicos. En su ecuación se reconoce de inmediato porque solo una de las dos variables está elevada al cuadrado.

Una elipse reúne los puntos para los que la suma de las distancias a dos puntos fijos, los focos, siempre vale lo mismo. Es la curva que se obtiene clavando dos tachuelas, atando un hilo flojo entre ellas y recorriéndolo tenso con un lápiz. Describe las órbitas de los planetas, con el Sol en uno de los focos. En su ecuación las dos variables van al cuadrado, con el mismo signo y denominadores distintos: si fueran iguales, sería una circunferencia.

En la hipérbola lo que se mantiene constante es la resta de las distancias a los dos focos, no la suma. Por eso son dos ramas separadas que se abren en direcciones opuestas y nunca se cierran. Su ecuación se distingue de la elipse en un solo detalle que lo cambia todo: los términos cuadráticos van RESTADOS. El término que aparece positivo indica sobre qué eje se abren las ramas, sin importar cuál denominador sea mayor.

Circunferencia, elipse, parábola e hipérbola no son cuatro temas sueltos: son lo que aparece al cortar un cono doble con un plano, y lo que cambia entre ellas es nada más la inclinación del corte. Todas se escriben con la misma ecuación general de segundo grado, así que se pueden reconocer sin graficar, comparando los coeficientes de x² y de y². Saber cuál es antes de despejar ahorra la mitad del trabajo.

Además de seno, coseno y tangente existen otras tres razones trigonométricas, y no son fórmulas nuevas que memorizar: cada una es el recíproco de una que ya conoces. La confusión más común es de pareja —la secante va con el coseno y la cosecante con el seno, justo al revés de lo que sugiere el nombre—. Como son cocientes, no existen donde su razón asociada vale cero, y ahí la función se dispara.

Una identidad es una igualdad que se cumple para todo valor del ángulo, no solo para algunos: esa es la diferencia con una ecuación, que solo se cumple para ciertos valores. Las recíprocas relacionan cada razón con su inversa; las de cociente expresan tangente y cotangente en términos de seno y coseno; y la pitagórica, sen²θ + cos²θ = 1, sale del teorema de Pitágoras aplicado al triángulo de la circunferencia unitaria. Sirven para reescribir una expresión enredada en otra que sí se puede resolver.

Una ecuación trigonométrica pide los ángulos que la hacen verdadera. A diferencia de una identidad, solo se cumple para algunos valores, y a diferencia de una ecuación algebraica, casi nunca tiene una sola solución: como las razones se repiten cada vuelta, si un ángulo sirve también sirven todos los que difieren de él en 360°. El error más común es dar el ángulo que devuelve la calculadora y detenerse ahí, olvidando el otro cuadrante donde la razón tiene el mismo valor.

Hasta aquí las medidas de una figura habían sido números. Cuando una de ellas es desconocida se escribe con una letra, y entonces el área y el volumen dejan de ser un número para volverse una expresión algebraica: se sustituye igual que siempre en la fórmula y después se desarrolla. Un cuadrado de lado x + 3 tiene área (x + 3)², que desarrollada es x² + 6x + 9. Aquí es donde los productos notables dejan de ser un ejercicio de álgebra y se vuelven una herramienta: el error de escribir (x + 3)² = x² + 9 se ve a simple vista si dibujas el cuadrado, porque faltan las dos franjas de 3x que quedan a los lados.

El desarrollo plano —o red— de un cuerpo es lo que queda si lo cortas por algunas aristas y lo aplanas sobre la mesa sin que se rompa ni se encime nada. Sirve para dos cosas. La primera, ver de golpe cuántas caras tiene y de qué forma es cada una. La segunda es la importante: el área superficial no es una fórmula que haya que memorizar, es la suma de las áreas del desarrollo. El cilindro es el que más confunde, porque su superficie lateral parece curva y al desenrollarla resulta ser un rectángulo: uno de sus lados es la altura, y el otro es la circunferencia de la base, 2πr, porque tiene que dar exactamente la vuelta.

Si tomas una figura plana y la haces girar una vuelta completa alrededor de una recta, el rastro que deja en el aire es un cuerpo geométrico. Esa recta es el eje de giro, y casi siempre es uno de los lados de la figura. Tres parejas resuelven la mayoría de los ejercicios: un rectángulo genera un cilindro, un triángulo rectángulo que gira sobre uno de sus catetos genera un cono, y un semicírculo que gira sobre su diámetro genera una esfera. Lo que más se equivoca no es la pareja sino el eje: la misma figura girada sobre otro lado da un cuerpo distinto, porque el lado que sirve de eje se convierte en la altura y el lado perpendicular a él se convierte en el radio.