Matemáticas
Estadística y Probabilidad
Organiza datos, interpreta gráficas y toma decisiones frente al azar.
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Datos, tablas y gráficas1.º de secundaria a 1.º de preparatoriaOrganiza información y elige una representación que no engañe.
Un dato es el valor observado de una variable. Las tablas de frecuencia cuentan cuántas veces aparece cada valor; las gráficas de barras comparan categorías, los histogramas agrupan cantidades numéricas y las gráficas de línea muestran cambios en el tiempo.
Regla clave
Primero identifica el tipo de variable. Usa barras para categorías, histograma para datos numéricos agrupados, circular para partes de un total y línea para cambios temporales.
Ejemplo razonado
Calificaciones 7, 8, 8, 9: la tabla registra 7→1, 8→2 y 9→1; la frecuencia total es 4.
Cómo hacerlo
- 1Identifica población, muestra y variable.
- 2Ordena los datos y cuenta frecuencias.
- 3Elige la gráfica adecuada y escribe título, escala y unidades.
Media, mediana y moda2.º de secundaria a 1.º de preparatoriaEncuentra valores representativos y decide cuál describe mejor los datos.
La media reparte el total por igual, la mediana ocupa el centro después de ordenar y la moda es el dato más frecuente. Un valor extremo puede alterar mucho la media, pero afecta menos a la mediana.
Regla clave
Media = suma/n. Mediana = dato central; si n es par, promedia los dos centrales. Moda = valor o valores con mayor frecuencia.
Ejemplo razonado
En 4, 6, 6, 8: media = 6, mediana = 6 y moda = 6.
Cómo hacerlo
- 1Ordena los datos.
- 2Calcula media, mediana y moda por separado.
- 3Interpreta cuál medida representa mejor el contexto.
Dispersión y valores atípicos3.º de secundaria a 2.º de preparatoriaMide qué tan separados están los datos.
Dos grupos pueden tener la misma media y comportarse de forma distinta. El rango compara extremos; la varianza promedia desviaciones cuadradas y la desviación estándar vuelve a las unidades originales.
Regla clave
Rango = máximo − mínimo. Varianza poblacional = Σ(x−media)²/n. Desviación estándar = √varianza.
Ejemplo razonado
2, 2, 8, 8 tiene media 5 y rango 6: los datos están alejados del centro.
Cómo hacerlo
- 1Calcula la media.
- 2Resta la media a cada dato y analiza las distancias.
- 3Calcula rango, varianza y desviación estándar.
Probabilidad y espacio muestral1.º de secundaria a 2.º de preparatoriaCompara casos favorables con todos los resultados posibles.
El espacio muestral contiene todos los resultados posibles. Si son igualmente probables, la probabilidad de un evento es la cantidad de casos favorables dividida entre el total de casos.
Regla clave
P(A) = casos favorables/casos posibles. Siempre 0 ≤ P(A) ≤ 1; en porcentaje se multiplica por 100.
Ejemplo razonado
En un dado, P(número par) = 3/6 = 1/2 = 50%.
Cómo hacerlo
- 1Escribe el espacio muestral.
- 2Cuenta los casos que cumplen el evento.
- 3Divide, simplifica e interpreta el resultado.
Técnicas de conteo1.º de preparatoria a 3.º de preparatoriaCuenta posibilidades sin enumerarlas una por una.
El principio multiplicativo combina decisiones consecutivas. Las permutaciones consideran el orden; las combinaciones forman grupos donde el orden no importa.
Regla clave
Permutaciones: P(n,r)=n!/(n−r)!. Combinaciones: C(n,r)=n!/[r!(n−r)!].
Ejemplo razonado
Elegir 2 representantes de 5: C(5,2)=10; presidente y secretario: P(5,2)=20 porque los cargos importan.
Cómo hacerlo
- 1Decide si el orden cambia el resultado.
- 2Identifica n y r.
- 3Aplica la fórmula y comprueba con un caso pequeño.
Eventos, muestreo y distribución normal2.º de preparatoria a 3.º de preparatoriaAnaliza independencia, condicionalidad y comportamiento de muestras.
Los eventos independientes no alteran sus probabilidades; la probabilidad condicional incorpora información nueva. El muestreo aleatorio reduce sesgos y la distribución normal modela muchas mediciones alrededor de una media.
Regla clave
Independientes: P(A∩B)=P(A)P(B). Condicional: P(A|B)=P(A∩B)/P(B).
Ejemplo razonado
Dos monedas independientes: P(dos águilas)=1/2×1/2=1/4.
Cómo hacerlo
- 1Define eventos y población.
- 2Decide si hay dependencia o información previa.
- 3Aplica la regla y comunica los límites de la conclusión.
Cuartiles3.º de preparatoriaParte los datos ordenados en cuatro grupos con la misma cantidad.
Los cuartiles cortan un conjunto ordenado en cuatro partes con la misma cantidad de datos cada una. Q2 es la mediana; Q1 deja por debajo la cuarta parte y Q3 deja por debajo tres cuartas partes. Sirven cuando la media engaña: en un salón donde casi todos sacaron 6 y uno sacó 10, el promedio sube y los cuartiles no. La distancia entre Q1 y Q3 —el rango intercuartílico— mide la dispersión del 50% central, sin que un dato extremo la infle.
Regla clave
Ordena SIEMPRE los datos primero. Posición de Qk = k(n + 1) / 4 Q1 → la cuarta parte de abajo Q2 → la mediana Q3 → tres cuartas partes abajo Rango intercuartílico RIC = Q3 − Q1
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Ejemplo razonado
Datos: 2, 4, 4, 5, 7, 8, 9, 12 (n = 8) Q1: posición 1(9)/4 = 2.25 → entre el 2.º y el 3.º 4 + 0.25(4 − 4) = 4 Q2: posición 4.5 → (5 + 7)/2 = 6 Q3: posición 6.75 → 8 + 0.75(9 − 8) = 8.75 RIC = 8.75 − 4 = 4.75
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Cómo hacerlo
- 1Ordena los datos de menor a mayor; sin ese paso todo lo demás sale mal.
- 2Cuenta cuántos datos hay y calcula la posición de cada cuartil con k(n + 1)/4.
- 3Si la posición es entera, toma ese dato; si no, interpola entre los dos vecinos.
- 4Resta Q3 − Q1 para obtener el rango intercuartílico y describir la dispersión.
Percentiles3.º de preparatoriaParte los datos en cien y ubica a cada quien en el conjunto.
Un percentil hace lo mismo que un cuartil pero con cien cortes en vez de cuatro: el percentil 70 es el valor por debajo del cual queda el 70% de los datos. Es la medida con la que se leen las tablas de crecimiento del pediatra y los resultados de un examen de admisión. Y contesta una pregunta distinta de la calificación: estar en el percentil 90 no significa haber acertado el 90% de los reactivos, sino haber quedado por encima del 90% de los sustentantes.
Regla clave
Posición de Pk = k(n + 1) / 100 Equivalencias: P25 = Q1 P50 = Q2 = mediana P75 = Q3 El percentil habla de POSICIÓN, no de porcentaje de aciertos.
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Ejemplo razonado
En un examen con 500 sustentantes quedaste en el percentil 90. No significa que acertaste el 90% de las preguntas. Significa que 450 personas quedaron por debajo de ti.
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Cómo hacerlo
- 1Ordena los datos de menor a mayor.
- 2Calcula la posición del percentil buscado con k(n + 1)/100.
- 3Interpola entre los dos datos vecinos si la posición no cae en un entero.
- 4Interpreta el resultado como posición dentro del grupo, no como calificación.
Diagramas de caja3.º de preparatoriaDibuja los cinco números que resumen un conjunto de datos.
Un diagrama de caja y bigotes dibuja cinco números: el mínimo, Q1, la mediana, Q3 y el máximo. La caja va de Q1 a Q3, así que encierra al 50% central de los datos, y la raya de adentro marca la mediana. Su ventaja es comparar dos grupos de un vistazo: una caja angosta significa datos parecidos entre sí y una ancha, datos dispersos. También delata la asimetría, porque la mediana no queda a la mitad de la caja cuando los datos se cargan hacia un lado.
Regla clave
Resumen de cinco números: mínimo · Q1 · mediana · Q3 · máximo La caja va de Q1 a Q3 y encierra el 50% central. Los bigotes llegan hasta 1.5 × RIC como máximo. Dato atípico: queda fuera de Q1 − 1.5·RIC o Q3 + 1.5·RIC
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Ejemplo razonado
Datos: 2, 4, 4, 5, 7, 8, 9, 12 Q1 = 4, mediana = 6, Q3 = 8.75 RIC = 4.75 Límite superior: 8.75 + 1.5(4.75) = 15.875 El 12 NO es atípico: cae dentro del límite.
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Cómo hacerlo
- 1Ordena los datos y calcula los cinco números del resumen.
- 2Dibuja la caja de Q1 a Q3 y traza la raya de la mediana adentro.
- 3Calcula 1.5 × RIC para saber hasta dónde pueden llegar los bigotes.
- 4Marca aparte, con un punto, cualquier dato que quede fuera de esos límites.
Distribución binomial3.º de preparatoriaLa probabilidad de acertar k veces en n intentos iguales.
La binomial responde una pregunta muy concreta: si repites n veces un experimento que solo puede salir bien o mal, y la probabilidad de que salga bien es siempre la misma p, ¿qué tan probable es acertar exactamente k veces? Tiene que cumplirse que los intentos sean independientes y que p no cambie entre uno y otro. La fórmula tiene dos partes con sentido propio: la combinación cuenta de cuántas formas distintas pueden acomodarse los k aciertos, y el producto de potencias da la probabilidad de una de esas formas.
Regla clave
P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ C(n, k) = n! / [k!(n − k)!] Condiciones que deben cumplirse: · solo dos resultados: éxito o fracaso · n intentos independientes · p igual en todos los intentos Media μ = np Varianza σ² = np(1 − p)
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Ejemplo razonado
Lanzas 5 monedas. ¿Probabilidad de exactamente 3 águilas? n = 5, k = 3, p = 0.5 C(5,3) = 10 P = 10 × 0.5³ × 0.5² = 10 × 0.125 × 0.25 P = 0.3125 → 31.25%
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Cómo hacerlo
- 1Comprueba que solo haya dos resultados y que la probabilidad no cambie entre intentos.
- 2Identifica n, k y p en el enunciado antes de tocar la fórmula.
- 3Calcula la combinación C(n, k): de cuántas formas pueden acomodarse los aciertos.
- 4Multiplica por p elevado a k y por (1 − p) elevado a n − k, y expresa el resultado en porcentaje.
Teorema de Bayes introductorio3.º de preparatoriaActualiza una probabilidad cuando llega información nueva.
Bayes sirve para voltear una probabilidad condicional: sabes qué tan probable es la prueba dado el evento y quieres saber qué tan probable es el evento dada la prueba. Su resultado más útil es también el más contraintuitivo: cuando una enfermedad es rara, una prueba positiva de un examen bastante bueno todavía deja al paciente con una probabilidad baja de estar enfermo, porque los falsos positivos de la gente sana son muchos más en números absolutos. Ignorar esa proporción de partida es el error que la fórmula corrige.
Regla clave
P(A|B) = P(B|A) · P(A) / P(B) Con P(B) desglosada: P(B) = P(B|A)·P(A) + P(B|¬A)·P(¬A) P(A) lo que creías antes P(A|B) lo que crees después del dato
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Ejemplo razonado
Enfermedad en 1 de cada 1000. Prueba con 99% de acierto. De 100 000 personas: enfermas 100 → 99 dan positivo sanas 99 900 → 999 dan falso positivo Positivos totales: 99 + 999 = 1098 P(enfermo | positivo) = 99/1098 ≈ 9% No 99%: la enfermedad es rara.
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Cómo hacerlo
- 1Escribe la probabilidad de partida, la que se tiene antes de cualquier dato.
- 2Anota la probabilidad del dato suponiendo el evento y suponiendo lo contrario.
- 3Calcula la probabilidad total del dato sumando las dos ramas.
- 4Divide la rama que te interesa entre ese total, y compara el resultado con tu intuición.
Resuelve paso a paso
Calculadoras
Introduce los datos y revisa cada parte del procedimiento.